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수학자는 왜 비눗방울을 좋아할까?

박응서 동아사이언스 기자 gopoong@donga.com

● 수학자는 왜 비눗방울을 좋아할까?

아이들보다 비눗방울을 더 좋아하는 사람이 있다. 바로 수학자와 과학자다. 이들에게 비눗방울은 매력적인 탐구대상이다. 왜 비눗방울에 관심을 갖는 걸까?

이들은 공통적으로 “비눗방울이 갖고 있는 자연의 신비에 푹 빠졌다”고 말한다. 비눗방울은 적은 재료로 최대의 효과를 내려는 최적화 문제와 연관돼 있어 수학이나 과학에서 아주 중요한 연구대상이다. 사실 비눗방울에 관심을 가진 과학자와 수학자는 오래전부터 있었다. 천재 발명가로 유명한 레오나르도 다빈치부터 수학으로 천체운동을 체계화한 수학자 피에르 라플라스, 실험으로 비눗방울의 특성을 파악한 물리학자 조제프 플라토까지 많은 학자가 비눗방울을 실험하거나 이론적으로 연구해 최적화 문제의 해법을 밝히는 데 기여했다. 비눗방울과 비누막은 일반인도 쉽게 접근할 수 있는 수학적인 탐구 대상이다. 수학자는 둥글거나 평평한 모양에서 수학 원리를 발견해 어디에나 적용될 수 있는 일반 원리를 찾아낸다. 그러면 과학자는 이를 응용해 재료를 적게 쓰면서도 공간은 넓고 튼튼한 구조물을 만드는 식으로 다양한 곳에 활용한다. 비눗방울은 생활 속 수학을 보여주는 대표주자인 셈이다.

● 비누막이 제시하는 최적화 해법

비눗방울이 모여 이룬 거품이 만드는 수학적인 성질은 19세기 물리학자 플라토에 의해서 처음 밝혀졌다.

그는 물과 비누, 글리세린을 이용해 18시간 정도 유지되는 비눗방울과 비누막을 만들고 관찰해 거품의 기하학적 특징을 알아냈다. 바로 ‘거품의 모서리는 세 막으로만 이뤄지며, 이때 세 막 가운데 이웃하는 두 막은 언제나 120° 각도를 이루고, 한 점에서는 네 모서리만 만난다’는 내용이다. 네 모서리가 만날 때의 각도는 109.5°다. 실험에서 나온 이 법칙은 100년이 넘은 지금까지도 잘 맞고 있다. 그런데 비눗방울은 왜 120°와 109.5°로 만날까? 비눗방울이 만날 때 표면적이 최소가 되는 각도이기 때문이다. 120°와 109.5°로 이뤄진 구조는 벌집, 현무암 기둥, 잠자리 날개에서도 발견할 수 있다. 비눗방울과 비누막은 최적화 문제에서 언제가 가장 효율적인가를 알려주기 때문에 수학자에게 인기가 높다. 최적화 문제는 학교나 직장에서 집으로 갈 때 어떤 경로로 가는 것이 가장 효율적인지를 알려주고, 휴대전화나 인터넷 같은 네트워크에서도 가장 효율적인 접속 경로를 찾도록 돕는다. 철사로 어떤 모양을 만들어 비눗물에 담궜다 꺼내면 ‘최소작용의 원리’에 따라 넓이가 최소가 되는 면적이 생긴다. 즉 비눗물이 만드는 비누막은 아무렇게나 생기는 것 같지만 자연은 면적이 최소가 되는 형태를 만들어 재료를 가장 적게 쓰도록 만든다. 이렇게 비누막이 만드는 곡면을 ‘극소곡면’이라고 한다.  비눗방울이나 비누막을 이용해 만들 수 있는 곡선 중 가장 흔한 것에 헬리코이드 곡선과 카테노이드 곡선이 있다. 줄의 양 끝을 잡고 있으면 중력에 의해 가운데가 밑으로 처지는 곡선이 만들어지는데, 이를 ‘현수선’이라고 한다. 이를 이용해 만든 다리인 현수교에서 볼 수 있는 현수선도 극소곡면이다.  또 현수선을 회전시키면 나타나는 카테노이드 곡선과, DNA의 이중나선, 산을 오를 때 빙 돌아서 올라가는 길 같은 회전식 곡선, 즉 헬리코이드 곡선은 대표적인 극소곡면이다. 이처럼 극소곡면은 균형이 잘 맞고 안정적인 구조여서 실생활에서 자주 볼 수 있다. 뮌헨올림픽 경기장의 비누막 구조가 대표적이다. 비누막 구조를 이용하면 아름다우면서도 재료를 최소화해 경제적이고 구조가 튼튼하다는 장점이 있다.

● 부피가 일정할 때 표면적을 최소로 하는 모양은?

‘일정한 부피의 모양으로 공간을 분할할 때 넓이를 최소화하는 방법은? 부피가 일정할 때 표면적이 최소인 모양으로 채우는 문제다. 1887년 과학자 켈빈경은 사각형 6개와 육각형 8개로 이뤄진 십사면체가 정답이라고 생각했다. 하지만 비누거품에서 이런 모양이 발견되지 않았다. 1993년 웨이어와 펠란은 컴퓨터로 이 문제를 해결했다. 그들이 찾은 웨이어-펠란 구조는 십사면체 3쌍과 십이면체 1쌍이 결합해 기본 형태를 만들고, 이것이 반복되면서 어떤 공간에서도 표면적이 최소가 되는 입체구조가 생긴다. 이 거품구조는 켈빈경이 추측한 십사면체와 0.3% 정도 차이를 보였다. 웨이어-펠란의 거품구조를 응용한 건축물이 2008년 베이징올림픽에서 처음 선을 보였다. ‘워터 큐브’라는 별명을 가진 수영경기장(사진)이다. 비누거품 모양의 막 634개가 표면 전체를 감싸는 워터 큐브는 비눗방울 연구가 실용화된 대표적인 사례다.
수학동아 6월호는 비눗방울에 숨겨진 수학적 비밀을 찾는 수학자, 비눗방울이 물거품보다 오래가는 이유, 터지지 않는 비눗방울 만드는 방법, 터져도 옷에 묻지 않는 색 있는 비눗방울, 비눗방울이 무지개 색을 띠는 이유, 음료수를 맛있게 먹기 위한 방법, 수학적으로 풀이한 맥주 거품의 비밀, 바다거품으로 알 수 있는 기후와 파도, 샴페인을 흔들고 따면 거품이 폭발하는 이유, 최소 둘레로 최대 면적을 찾는 등주문제, 최단 경로 구하는 슈타이너 점, 아직도 증명하지 못한 비눗방울 3개의 만남 등 비눗방울과 비누막에 관한 이모저모를 소개하고 있다.


세포동물, 외부자극 줄이려 같은 형태로 진화

18세기 화가 장 시메옹 샤르댕은 비눗방울을 주제로 그림을 그린 대표적인 화가로 꼽힌다. 그는 어느 화창한 봄날 비눗방울을 불며 노는 아이의 천진난만한 모습을 화폭에 담았다. 그의 그림처럼 한동안 비눗방울은 가볍고 투명한 구슬처럼 여겨졌다. 수학은 구(球)를 같은 부피를 에워싸는 곡면 중 면적이 가장 작은 물체로 해석한다. 일정한 길이의 끈으로 가장 넓은 면적을 둘러싸려면 원으로 만들어야 하는 이치와 마찬가지다. 이런 성질 때문에 비눗방울의 평균곡률은 일정한 값(상수)을 갖는다. 구 외에 다른 형태를 띨 수 있다는 뜻이다.  자연에서 비눗방울과 같은 ‘수학적 성질’을 가진 사례는 얼마든지 볼 수 있다. 단세포동물이 대표적인 사례다. 단세포동물은 외부 자극을 줄이면서 생명 활동을 활발하게 하기 편한 형태를 가지려는 성질이 있다. 과학자들은 “단세포동물이 물리적 힘과 생물학적 필요성이 균형을 이루며 진화한 덕에 비눗방울과 비슷한 수학적 성질을 띠게 됐다”고 추측한다.

이룰 땐 외부각도 120도, 내부 109.5도

비눗방울이 여러 개 모여 만든 구조와 같은 성질을 지닌 사례는 더 쉽게 찾을 수 있다. 비누거품은 낱개의 비눗방울이 서로 만난 부분이 곡면을 이룬다. 이때 곡면을 따라 비눗방울이 서로 만나는 각도는 120도. 내부에 생긴 막은 109.5도를 이룬다. 비눗방울이 모여 120도 구조를 만드는 까닭은 비눗방울처럼 일정 부피를 에워싸는 곡면 중 가장 작은 넓이이기 때문이다. 고등과학원 수학과 최재경 교수는 “자연계는 표면적을 가장 작게 하면서 가장 튼튼한 구조를 가지려는 성향을 가진다”며, “비누거품이 이루는 ‘120도 구조’가 대표적인 예”라고 말한다. 비눗방울의 ‘120도 구조’는 벌집, 현무암 기둥, 잠자리 날개, 방산충 뼈대와 같은 자연계는 물론 자동차 핸들, 도시와 도시를 잇는 송유망 등 다양한 분야에서 발견된다.

지붕에 응용 건축재료 적게 들고 구조안정

비눗물에 둥근 철사를 담갔다 꺼낼 때 생기는 ‘비누막’ 구조는 건축 분야에서 오래전부터 활용돼 왔다. 1972년 완공된 독일의 뮌헨 올림픽 경기장은 비누막을 본뜬 지붕으로 잘 알려져 있다. 이 건물의 설계자 프라이 오토와 군터 베니시는 지붕을 설계할 때 실제 축소된 구조물을 이용해 비누막 실험을 했다. 그들이 ‘톡’ 건드리면 터질 것 같은 비누막을 큰 건물의 지붕 모델로 선택한 이유는 단 하나. 비누막 역시 경계가 있는 곡면 중에서 가장 작은 표면적을 가지려 하기 때문이다. 평균곡률이 0인 비누막은 최소 넓이를 가지려는 성질 때문에 매우 안정된 구조를 이룬다. 건축학적으로 가장 적은 재료로 가장 안정된 구조를 만들 수 있다는 의미다. 성당의 종탑이나 소방서 같은 좁은 공간에서 요긴하게 쓰이는 ‘회전계단’도 비누막이 확장된 형태다. 최 교수는 “비누막과 비눗방울 구조가 갖는 이런 성질은 자연계나 공학 분야의 해석뿐 아니라 ‘최소 비용에 최대 이윤’을 추구하는 경제 모델 분석 등 다른 분야의 해석에도 널리 활용된다”고 설명했다.