과학 ≫ 수학 ≫ 물리 ≫ 화학

게이지 이론 Gauge Theories

출처 : 김재관 특집 '99 노벨 물리학상
비가환 게이지 이론(non-Abelian Gauge Theories)의 되틀맞춤(renormalization)을 이룬 업적으로 게라드 토프트(Gerard 't Hooft)와 마틴 벨트만(Martin Veltman)은1999 년도 노벨 물리학상을 받게 되었다. 이를 계기로, 이 업적이 물리학사에서 차지하는 의미를 자세히 쉽게 풀이하여 보기로 하자.

어떻게 세상이 만들어졌는지를 이해하기 위해서는 물질을 구성하고 있는 소립자들간의 상호작용이 어떻게 이루어지고 있는지를 설명하는 자연의 네 가지 힘(중력, 전자기력, 약력 및 강력)에 대한 이론이 필요하다. 최근까지는 이 네가지 힘에 대하여 각각 다른 이론이 필요하였다. 첫 두 힘, 중력과 전자기력은 그 힘의 영역이 무한대에 이르므로 물질을 밀고 당기는 것을 통하여 우리에게 아주 친숙하게 느껴진다. 그러나 나머지 두 힘, 약력과 강력은 그 힘의 영향력이 아주 짧아 원자핵의 반경 이상 미치지 못하므로 우리는 직접 감지할 수가 없다. 강력은 양성자와 중성자를 원자핵 속에 묶는 역할을 하고 또한 쿼크들을 묶어 양성자와 중성자를 이루는 역할을 한다. 약력은 주로 어떤 핵이나 입자의 붕괴를 일으키는 역할을 한다.
물리학자들의 오랜 갈망은 이 네 가지 힘을 통합하는 한 개의 대통합이론을 만드는 데 있다. 이 통합이론은 아주 성격이 다른 이 힘들의 깊은 관계를 알려줄 것이라고 상상한다. 그러나 이 대통합이론은 현재 끈 이론이라는 이름 하에 상당한 진전을 보였지만 아직 완성되지 않았다. 그러나 전자기력과 약력은 전자기 약작용이론(electroweak theory) 하에서 통합이 되었으며 관계되는 모든 실험을 잘 설명한다. 현재까지의 연구에 위하면, 이 네 가지 힘들은 모두 한곳 대칭성(local symmetry)을 갖고 있는 비가환 게이지 이론(non- Abelian gauge theories)으로 설명이 되고 있다. 이 게이지 이론의 중요한 일은 힘의 여러 가지 성질을 자연의 대칭성과 연결시켜 주는 것이다.

게이지 대칭성(Gauge Symmetry)

한곳 대칭성을 갖고있는 첫 게이지 이론은 1868 년에 도입된 막스웰의 전기장과 자기장의 이론이다. 전기장과 자기장은 공간의 각 점에서 크기와 방향을 가진 벡타장이다. 전기장은 전하의 분포에 의하여 결정되며 전기퍼텐셜에서 편리하게 유도할 수 있다. 자기장은 전하의 운동에서 생성되고 자기퍼텐셜에서 쉽게 유도할 수 있다. 이 전기 및 자기퍼텐셜에 한곳 게이지 전환을 하여도 원래의 전기 및 자기장은 불변하게 된다. 전기퍼텐셜의 어떤 한곳변화에도 보충적인 자기퍼텐셜의 변화를 줌으로써 항상 전기 및 자기장을 불변하게 할 수 있다.
막스웰의 전자기이론은 고전적이고 비양자역학적이지만 관계되는 게이지 대칭성은 전자기 상호작용의 양자이론인 양자전기역학(Quantum Electrodynamics)에서도 성립된다. 이 양자이론에서는 전자를 양자역학적인 파동이나 장(field)으로 표현할 필요가 있다. 전자의 양자이론에서는 전기퍼텐셜의 변화는 전자장(electron field)의 위상변화(phase change)를 일으키게 된다. 전자의 스핀은 1/2 이므로 두 스핀상태를 가지며 관계되는 장은 두 성분을 가져야 한다. 각 성분은 복소수로 표현되어야 한다. 전자장은 움직이는 파동묶음이며 이것은 장의 실성분과 허성분의 진폭 진동이다. 여기서 강조하고 싶은 것은 전자장은 전자의 전기장이 아니고 전자의 물질장이라는 것이다.
만약에 전자가 전하를 갖고 있지 않을 때도 이 장은 존재한다. 이 장은 주어진 시공간 점에서 어떤 스핀 상태에 있는 전자를 찾는 확률로 정의된다. 확률은 장의 실성분과 허성분의 제곱의 합으로 주어진다. 그러나 전자장의 위상을 측정하는 것은 실험적으로 불가능하며 또한 위상이 어떤 실험 결과에도 영향을 줄 수 없다. 만약 실험에 영향을 준다면 그 실험을 사용하여 위상을 결정할 수 있기 때문이다. 따라서 전자장은 어떤 위상변화 하에서도 대칭성을 갖고 있다. 양자장의 위상을 마음대로 조절할 수 있는 이러한 대칭을 게이지 대칭성이라고 한다. 게이지 대칭성은 역사적으로 1920 년에 헬만 와일(Hermann Weyl)이 전자기학과 일반상대론을 통합하려고 시도하는 과정에서 처음으로 도입되었다. 위에서 기술한 전자장 대칭성은 모든 장소에서 동시에 같은 위상변화를 주는 온곳 게이지 대칭성(global gauge symmetry)이다. 어떤 다른 물질이나 복사 없이 전자장 홀로의 이론은 한곳 게이지 변환(local transformation) 하에서 불변하지 않는다는 것을 다음에 보여준다.

게이지 이론(Gauge Theories)

게이지 이론은 온곳 혹은 한곳 게이지 대칭성을 갖게 만들 수 있다. 그러나 한곳 대칭성을 가진 이론이 오늘날 각광을 받고 있다. 한곳 변환 하에서 불변인 이론을 만들기 위해서는 힘이라는 새로운 양을 포함해야 한다. 입자간의 상호작용을 기술하는 현대이론에서는 힘의 작용은 입자 사이를 힘의 양자가 교환되는 것으로 기술한다. 예를 들면 두 전자간의 상호작용은 전자를 둘러싸고 있는 전자기장의 양자인 광자의 교환으로 생각한다. 교환된 양자는 아주 짧은 생존밖에 못한다.
한번 방출된 양자는 같은 입자나 다른 입자에 의하여 아주 짧은 시간 내에 재흡수 되어야만 한다. 힘의 양자는 한없이 갈 수도 없고 실험으로 검출할 수도 없다. 이러한 실체를 가상입자(virtual particle)라고 부른다. 상호작용 범위는 교환되는 양자의 질량에 관계된다. 만약에 가상입자의 질량이 크면 생존을 위하여 더 많은 에너지를 빌려야되며 불확정성 원리에 따라 더 빨리 돌려주어야 한다. 따라서 입자가 재흡수 전에 갈 수 있는 거리는 줄어들고 관련된 힘의 범위는 짧아진다.
교환된 양자의 질량이 영인 특수한 경우에는 힘의 범위는 무한대가 된다. 한곳 게이지 대칭성과 부합하는 전자에 대한 양자이론을 만들 때 전자장에 힘의 장을 추가시킴으로서 전자의 위상변화를 보충시킬 수 있게 한다. 전자의 위상이 시간과 공간의 임의의 함수로 변화할 때 이 새로 도입된 힘의 장이 모든 관측 가능량의 불변을 보존하여야 한다. 이 조건을 만족하는 장은 스핀이 일인 벡터장이다. 그리고 전공간에서 전자장의 위상변화를 조화시키기 위해서는 이 벡터장의 작용범위는 무한대가 되어야 한다. 그러므로 힘양자의 질량이 영이어야 한다. 이런 성질을 잘 만족하는 장은 전자기장이며 그 장의 양자는 광자이다.
위에서 보였듯이 전자기장은 홀로 한곳 게이지 대칭성을 만족하므로 전자기장과 전자장을 합치면 국소 게이지 대칭성을 만족한다. 이 두 장의 연결은 전자의 전하와 전자기장과의 상호작용에서 온다. 이 상호작용 때문에 전자기장 속에서 전자물질파의 전파는 전기 퍼텐셜과 자기 벡터 퍼텐셜을 설정해야만 적절히 표현할 수 있다. 일단 이 두 퍼텐셜의 값이 정해지면 전자파의 위상은 모든 곳에서 고정된다. 그러나 전자기장의 한곳 대칭 때문에 모든 시공간 점에서 전기 퍼텐셜에 임의의 값을 독립적으로 줄 수 있다. 이 이유로 전자 물질장의 위상도 모든 점에서 어떤 값도 가질 수 있지만 전기 및 자기 퍼텐셜이 취한 내용과 부합해야 한다. 전자 물질장과 전자기장을 합쳐서 결과로 나온 이론을 양자전기역학이라고 한다.

양자전기역학
(Quantum Electrodynamics)

양자 전기역학은 파울 디락(Paul Dirac)이 1928 년에 시작하였으나 20 년간의 발전 끝에 리차드 파인만(Richard Feynman), 쥬라안 슈윙거(Julian Schwinger)와 신이찌로 도모나가(Sin-Itiro Tomonaga)에 의하여 1948 년에 완성되었다. 디락은 파동함수를 사용하여 특수상대론과 부합하게 전자를 양자역학적으로 취급하였다. 디락 이론의 가장 중요한 결과 중 하나는 전자처럼 전하를 갖고 있는 모든 입자에는 반드시 질량은 같고 전하는 반대인 반입자가 존재해야 한다는 것이었다. 양전자는 칼 앤덜슨(Carl Anderson)이 1932 년에 우주선실험에서 발견하였으며 디락과 앤덜슨은 노벨 물리학상을 받았다. 1920 년대 말과  1930 년대 초에 양자전기역학을 사용하여 광자-전자 산란, 전자-전자 산란, 전자-양전자 소멸과정 등 많은 물리현상을 계산하였다. 그러나 이론결과는 에너지가 낮은 영역에서 실험과 잘 일치하였으나 에너지가 높은 영역에서는 계산 결과가 무한대로 나오는 문제가 발생하였다.
특히 1930 년에 로버트 오펜하이머(Robert Oppenheimer)는 원자궤도에 있는 전자가 가상광자를 방출하고 같은 궤도를 돌다 조금 후에 이 가상광자를 다시 흡수하는 과정이 원자에너지 값에 미치는 아주 섬세한 영향을 양자전기역학을 사용하여 계산하였다. 양자전기역학의 법칙에 의하면 이 과정은 원자의 에너지 값에 영향을 주며 계산에서는 무한대의 가상광자의 방출과 흡수과정 (한개의 가상광자의 방출과 흡수, 두 개의 가상광자의 방출과 흡수, …)을 합해야 하며 또한 각 과정에서 가상광자의 에너지 값을 무한대까지 제한 없이 주어야한다. 이 계산과정에서 가상 광자의 제한 없이 높은 에너지 부분을 포함하고 있기 때문에 오펜하이머의 계산 결과는 무한대가 되었고 에너지이동에 주는 값도 무한대가 되었다.
이 무한대 문제는 1930 년대와 1940 년대에 많은 물리학자들의 연구 대상이었고 여러 가지 해결방법이 발표되었으나 다 결함이 있었다. 그러나 1947 년에 콜롬비아 대학의 윌리스 램(Willis Lamb)이 마이크로파 레이더 기술을 사용하여 오펜하이머의 가상광자 방출과 흡수과정에 의한 수소원자의 에너지이동을 실험적으로 측정하였다. 이 에너지이동은 램 이동(Lamb Shift)이라고 알려졌고 이 업적으로 램은 노벨 물리학상을 받았다. 이 실험결과를 맞추기 위한 이론의 발전은 활발하였고 빨랐다. 다른 램이동 값의 계산은 복잡하였고 상대론과도 완전히 부합하지 않았다. 파인만, 슈윙거, 도모나가는 1948 년 각각 독립적으로 되틀맞춤(renormalization) 방법을 고안하여 상대론과도 완전히 부합하게 무한대 문제를 해결하여 양자전기역학을 드디어 완성시켰다.

되틀맞춤 방법
(Renormalization Method)

되틀맞춤 방법(renormalization method)을 간단히 설명한다면 각 양무한대에 한 개의 음무한대를 찾아서 모든 과정의 합에서는 모든 무한대가 다 상쇄 하게끔 하는 것이다. 이들의 업적은 상쇄되고 남은 양이 유한한 값을 갖으며 그것이 이론의 예측 값이 된다는 것을 보였다. 이것은 모든 상호작용 확률이 유한하고 양으로 나와야 된다는 조건에서 유일하게 결정된다. 되틀맞춤을 물리적으로 설명하면 다음과 같다. 전자에 대한 실험적인 측정을 할 때 실제로 측정된 것은 이론에서 시작할 때 쓰는 점 같은 입자의 맨 질량(bare mass)이나 맨 전하(bare charge)가 아니고 전자와 둘러싼 가상광자의 분포를 합친 것의 성질을 측정하는 것이다. 따라서 맨 질량이나 맨 전하의 값이 음 무한대가 되면 양 무한대인 가상광자의 영향(방출과 흡수 과정의 총합)의 계산결과와 합치면 두 음-양 무한대가 상쇄하여 유한한 값이 되고 그것이 바로 측정한 질량과 전하가 된다. 이런 과정을 질량 되틀맞춤(mass renormalization)과 전하 되틀맞춤(charge renormalization)이라고 한다.
되틀맞춤 방법은 논리와 내부일관성이 좀 부족해 보이는 것 같지만 가장 중요한 점은 실험사실과 잘 맞다는 것이다. 특히 파인만은 전자와 광자간의 가능한 모든 상호작용을 파인만 도형(Feynman Diagram)으로 표현하여 이해와 계산을 쉽게 하였다. 파인만 도형방법에서는 가상광자의 방출-흡수 과정이 없는 간단한 상호작용 과정은 나무가지 도형(tree diagram)으로, 한 개 가상광자의 방출-흡수 과정은 한 고리도형(one loop diagram)으로, 두개 가상광자의 방출-흡수 과정은 두 고리도형(two loop diagram) 등으로 분류하여 상호작용의 내용을 가시적으로 도형으로 분류하여 계산과정을 알기 쉽게 단축할 수 있게 하였다. 현재까지 양자전기역학의 계산결과는 실험결과와 십억 분지 일의 오차범위까지 맞추었다.
이렇게 전자기력에 관한 게이지 이론은 완성되었으며 양전기역학은 현재까지 만든 이론 중에서 가장 정확한 이론이며 다른 기본 힘에 관한 이론의 모델이 되고 있다. 이 업적으로 파인만, 슈윙거, 도모나가는 1969 년에 노벨 물리학상을 받았다.

양-밀스 이론(Yang-Mills Theory)
양력과 강력에 관한 이론의 기본인 비가환 게이지이론은 1954 년에 씨엔 양(C. N. Yang)과 로버트 밀스(Robert Mills) 에 의하여 시작되었으며 양-밀스 이론(Yang- Mills theory)이라고 부른다. 양성자와 중성자의 정체를 교환했을 때 물질의 강한 상호작용(strong interaction)의 불변성을 나타내는 하전스핀 대칭성(isotopic-spin symmetry)이 양-밀스 이론의 기본대칭성이다. 하전스핀(isotopic-spin)의 값은 이 경우 1/2 이며 하전스핀이 위로 향한 상태를 양성자로 보고 하전스핀이 아래로
향한 상태를 중성자로 보는 것이 하전스핀의 개념이다. 온곳 대칭성의 경우에는 하전스핀의 방향을 모든 곳에서 동시에 결정해야 한다. 그러나 한곳 대칭성의 경우는 하전-스핀의 방향이 장소가 변함에 따라 독립적으로 변할 수 있다. 핵 알갱이(nuclear particle)의 정체를 양성자 혹은 중성자로 결정하는 규칙을 장소에 따라 다르게 자유롭게 결정할 수 있는 것이 한곳 게이지 대칭성이다.
한곳 게이지 대칭성을 만족하는 이론을 만들 때는 힘을 전달하는 장을 이론에 가해주어야 한다는 것을 양자전기역학에서 보았다. 양-밀스 이론은 양자전자기역학보다 더 복잡하기 때문에 더 많은 장을 가해주어야 한다. 하전-스핀의 방향을 장소가 변함에 따라 독립적으로 결정하였을 때 물리의 법칙을 불변하게 하기 위해서는 여섯 개의 새로운 장이 도입되어야 한다. 이 여섯 개의 장을 양-밀스 장(Yang-Mills fields)이라고 하며 모두 벡타장이며 모두 무한대의 상호작용 범위를 갖고 있다. 양-밀스 장은 전자기장을 모델로 하여 형성되었다. 이 장의 두 개는 보통의 전기 및 자기장과 일치하며 광자 장을 나타낸다. 나머지 양-밀스 장도 쌍으로 짝을 지워 두 개의 전기 및 자기장으로 이해할 수 있으나 이 장들이 표시하는 광자들은 질량이 없고 스핀 일인 입자들이지만 전하를 갖고 있다. 한 광자는 음 전하를, 다른 광자는 양 전하를 갖고있어 보통광자와는 기본적으로 다른 물리결과를 준다.
같은 입자에게 한곳 게이지 전환을 한번 이상 걸어 주었을 때 전하를 가진 광자가 주는 경이적인 영향이 가장 잘 나타난다. 위에서 보였듯이 양자 전기역학에서는 한곳 대칭성의 작용은 전자와 광자의 상호 작용에서 일어나며 전자장의 위상만 국소적으로 변화하며 전자의 정체는 바뀌지 않는다. 이것은 광자가 전하를 갖고 있지 않기 때문이다. 전자가 광자를 방출하고 조금 후에 다시 광자를 흡수했을 때 전자장의 위상 변화는 두 번 일어나며 결과는 이 두 위상 변화량의 합이 된다.
위상변화의 순서를 반대로 한다면 즉 전자가 먼저 광자를 흡수하고 나중에 광자를 방출할 경우에도 총 위상 변화는 합으로 나오므로 결과는 갔다. 그러므로 양자전기역학에서는 한곳 게이지 전환의 순서를 바꿀 수 있으므로 이 이론을 가환 게이지 이론(Abelian gauge theory)이라고 한다.
양-밀스 이론에서 한곳 대칭성의 작용은 하전스핀의 한곳회전이며 이것은 전하를 갖고 있는 광자와 양성자 혹은 중성자의 상호 작용에서 일어나는 것이다. 양성자가 음전하 광자와 상호 작용하여 중성자로 변하는 것은 하전스핀이 위에서 아래로 회전하는 것이며 중성자가 양전하 광자와 상호작용 하여 양성자로 변하는 것은 하전스핀이 아래에서 위로 회전하는 것이다. 양-밀스 이론에서는 한곳 게이지 대칭성에서 전하를 가진 광자 때문에 입자의 정체가 바뀌므로, 양자전기역학과는 판이하게 다르다. 두 개의 한곳 게이지 대칭 전환을 걸었을 때 순서가 중요해지며 순서를 반대로 했을 때 결과는 일반적으로 다르게 나올 수 있다. 예를 들어 핵 알갱이에 게이지 전환 A 를 가하고 곧이어 게이지 전환 B 를 가했을 때 하전스핀의 방향이 양성자가 되는 방향으로 향했다고 하자. 같은 핵 알갱이에 게이지 전환 B 를 먼저 걸고 곧이어 게이지 전환 A 를 순서를 반대로 가했을 때 일반적으로 하전스핀의 방향은 다르며 양성자가 아니고 중성자가 되는 방향으로 향할 수가 있다. 양-밀스 이론에서는 한곳 게이지 전환의 순서를 바꿀 수가 없으며 이 이론을 비가환 게이지 이론이라고 한다.

수정된 양-밀스 이론 (Modified Yang-Mills Theory)

이렇게 만든 양-밀스 이론은 그후 약력 및 강력 이론구성에 중요한 역할을 하였지만 원래 만든 이론은 실제 세계를 기술하는데는 적합하지 않았으며 수정이 필요했다. 첫 문제는 하전스핀 대칭성이 정확하다는 것은 양성자와 중성자가 구별되지 않는다는 것인데 그것은 사실과 다르다. 더 문제되는 것은 질량이 영이고 전하를 갖는 광자의 예측이었다. 전자보다 가벼운 전하를 갖고 있는 입자의 존재는 세상을 알아볼 수 없게 바꾸어 놓을 수 있기 때문이다. 이런 문제가 있었지만 이론은 아주 아름다웠고 또한 철학적으로 매혹적이었다. 이 결함을 없애기 위한 첫 노력은 전하를 가진 광자에 질량을 인위적으로 주는 것이었다.
전하를 가진 광자에 질량을 많이 줄수록 상호작용의 범위를 아주 짧게 할 수 있으며 그렇게 되면 실험 관측과도 부합한다. 그리고 질량이 영이고 전하가 없는 광자는 전자기력을 전파하는 보통광자가 되며 이 광자는 전자기 상호작용을 통하여 전하가 있는 양성자와 전하가 없는 중성자의 구별문제도 해결한다.
이러한 수정을 이론에 가하면 하전스핀의 회전은 관측 가능한 결과를 주므로 양-밀스 이론의 한곳 대칭성은 정확하지 않고 근사해진다. 그러나 자연에는 많은 근사 대칭성이 있기 때문에, 이것은 기본적인 문제는 되지 않는다. 또한, 무거운 전하를 가진 광자의 작용범위보다 아주 짧은 거리에서는 한곳 대칭성이 더 정확해진다. 즉, 수정된 양-밀스 이론의 미시적인 구조는 한곳 대칭성을 갖고 거시적으로 관측되는 사건의 예측은 한곳 대칭성을 갖지 않는다고 말할 수 있다.
수정된 양-밀스 이론은 더 쉽게 이해할 수는 있었지만, 양자역학적인 해석에서는 양자전기역학에서 보다 훨씬 더 심각한 무한대 문제가 있었다. 이 심각한 무한대 문제는 되틀맞춤의 표준처방 갖고는 해결할 수가 없었고 새로운 방법이 고안되어야 했었다.
파인만이 1963 년에 고스트 입자(ghost particle)라는 중요한 새로운 개념을 도입하였다. 이 고스트 입자는 계산 과정에는 도입되었다가 계산이 끝났을 때는 없어진다. 시작부터 고스트 입자는 허위인 줄 알지만 최종 상태에서 절대 나타나지 않는다면 이 입자의 사용을 정당화할 수 있다. 고스트 입자의 총 생성확률을 항상 영이 되게끔 만들면 이러한 조건은 보장된다. 벨트만과 죤 벨(John Bell)은 이 새로운 고스트 입자 방법을 사용하여 무거운 전하를 가진 광자를 갖고있는 수정된 양-밀스 이론의 무한대 문제를 연구하였다.
이 이론의 모든 종류의 파인만 도형을 차례로 조사함으로서 되틀맞춤을 체계적으로 분석하였다. 방출-흡수 고리가 없는 나뭇가지 도형은 무한대의 문제가 없으며 유한 값을 준다는 것을 쉽게 보였다. 방출-흡수 과정이 하나 있는 한 고리 파인만 도형은 무한한 항이 있었으나, 고스트 입자 방법을 사용하여 양 무한대와 음 무한대의 항이 정확하게 상쇄할 수 있게 만들 수 있었다. 방출-흡수 고리의 수가 늘어나면 파인만 도형의 수가 급히 늘어나고 각 도형의 계산도 아주 들어진다. 모든 두 고리 파인만 도형을 조사하기 위한 엄청난 일을 돕기 위한 힘든 컴퓨터 프로그램은 작성되었고, 1970 년에는 그 계산 결과가 나왔으나 일부의 무한대를 상쇄시킬 수 없었다. 수정된 양-밀스 이론의 되틀맞춤은 불가능하며 이 이론은 실패라는 것이 알려진 것이다. 그러나 벨트만의 이 연구는 비가환 게이지 이론의 되틀맞춤을 성공시키는 데 중요한 수단을 제공하였다.

힉스 메카니즘(Higgs Mechanism)
수정된 양-밀스 이론의 실패는 양-밀스 이론의 결함에서 기인한 것이 아니고 이론의 수정방법에 있었다. 전하를 가진 광자의 질량을 손으로 넣었으며 이로 인하여 한곳 게이지 대칭성은 수정된 이론에서 완전치 않았다. 그런 동안에 양-밀스 이론에 게이지 대칭성을 완전히 보존하면서 질량을 줄 수 있는 방법이 피터 힉스(Peter Higgs) 및 다른 학자들에 의하여 1964 년에 독립적으로 제안되었다. 이 방법을 힉스 메카니즘이라고 하며 기본 개념은 이론에 새로운 스칼라 장인 힉스 장을 추가로 도입하는 것이다. 이 스칼라 장은 이상한 성질을 갖고 있어 가장 에너지가 낮은 진공(vacuum) 상태에서도 없어지지 않는다. 보통 우리는 아무 것도 없는 공간을 진공이라고 생각한다, 그러나 물리학에서는 모든 장이 가장 낮은 에너지를 갖고있는 상태를 정확히 진공이라고 정의한다. 예를 들면, 전자장은 전자가 없을 때 가장 작은 값을 갖는다. 그러나 힉스 장의 경우에는 특이하게도, 진공에서 장이 영보다 큰 어떤 균일한 값을 가지며 그 때 장의 에너지가 가장 적다.
힉스 장의 영향은 하전스핀 벡터의 방향을 결정할 수 있는 기준 틀을 준다.진공상태에서 힉스 장의 고정된 값은 이 좌표계의 축을 정해주며 하전스핀의 방향은 힉스 장에 의하여 결정된 축을 기준으로 하여 결정된다. 이렇게 하여 양성자를 중성자로부터 구별할 수 있게 된다. 힉스 입자의 도입은 이론의 게이지 대칭성을 깨는 것처럼 보이며 따라서 해결 불가능한 무한대 문제가 다시 나타나는 것 같이 보인다. 그러나, 사실에서는 게이지 대칭성은 파괴되지 않고 다만 감추어진다. 하전스핀 벡터를 장소에 따라 임의로 회전시키는 한곳 게이지 전환을 하는 중 힉스 장이 결정한 좌표축도 같이 회전하기 때문에 하전스핀의 절대방향은 결정할 수 없다. 다만 힉스 장이 결정해준 축의 방향과 다른 하전스핀 벡터방향 사이의 상대적인 각만 측정할 수 있다. 힉스 메카니즘은 다른 물리분야에서 이미 잘 알려진 자발적 대칭성 깨짐(spontaneous symmetry breaking)의 한 예이며, 이론은 대칭성을 갖고 있지만 이론이 기술하는 입자들은 대칭성을 갖고 있지 않는다. 즉, 양-밀스 이론은 하전스핀 방향의 회전에 관한 게이지 대칭성을 유지하지만 이론이 기술하는 양성자와 중성자는 대칭성을 갖고있지 않는다.
힉스 메카니즘에 의하여 양-밀스 양자에 어떻게 질량을 주는지 다음과 같이 설명할 수 있다. 힉스 장은 스칼라 양이기 때문에 크기만 갖고 있고 그 장양자의 스핀은 영이 되어야 한다. 양-밀스 장은 벡터 장이고 스핀이 일이다. 보통은 스핀이 일인 입자는 운동방향에 평행한, 반 평행한, 그리고 수직인 방향으로 세 스핀상태를 갖는다. 그러나 양-밀스 입자는 질량이 없으므로 광속도로 달리며 수직방향의 스핀상태는 없으며 두개의 스핀상태만 있다. 그러나 양-밀스 장은 힉스 장을 먹고 질량을 갖게되고 수직 스핀상태를 하나 얻는다. 그후 힉스 입자는 고스트가 된다.

게이지 이론의 되틀맞춤 (Renormalization of Gauge Theories)

1971 년에 논문 지도교수인 벨트만이 그 당시 박사과정 제자인 토프트에게 순수한 양-밀스 이론의 되틀맞춤에 관하여 연구해보기를 권하였다. 그리고 토프트는 지도교수인 벨트만이 오랜 연구 끝에 발전시킨 벡터장의 되틀맞춤 연구를 위한 강력한 방법을 사용할 수가 있었다. 또한 필요한 파인만 도형의 구성에 필요한 규칙은 이미 Faddeev 와 Popov 에 의하여 이미 작성되었고 질량이 없는 순수한 양-밀스 이론의 되틀맞춤의 가능성도 이들이 이미 1967 년에 제시하였다. 그러나 이 순수한 양-밀스 이론의 문제는 비현실적이었고 장의 상호작용 범위가 길어서 취급하기가 힘들었다. 이 이론을 현실적으로 만들기 위하여 양-밀스 장의 상호작용 범위를 유한한 값으로 한정시키는 수단을 찾아야했다. 그 때 이휘소(Benjamin W. Lee)와 클트 시만직(Kurt Symanzik)이 온곳 게이지 대칭성이 자발적으로 깨어지는 이론모델의 되틀맞춤에 성공하였다.
그러므로, 토프트('t Hooft)는 자연스럽게 힉스 메카니즘을 양-밀스 이론에 사용하여 한곳 게이지 대칭성이 자발적으로 깨어지는 경우를 연구하게 되었다. 이렇게 질량문제와 유한한 작용범위 문제는 자동적으로 해결할 수 있었고 남은 문제는 이 새로운 비가환 게이지 이론의 중요한 문제인 되틀맞춤을 해결하는 데 있었다.
토프트는 몇 가지 간단한 모델에서, 교환되는 게이지 입자의 수에 관계없이 그리고 파인만 도형에 포함되는 방출-흡수 고리 수에 관계없이 이러한 경우에 무한대는 모두 상쇄되는 놀라운 결과를 얻었다. 결정적인 결과는 모든 가능한 두 고리를 갖고 있는 파인만 도형의 무한대를 컴퓨터 프로그램을 사용하여 조사하는 데 있었다. 컴퓨터 결과는 두 고리 도형의 모든 무한대가 정확히 상쇄되는 것이었다. 그 후에는 매우 복잡한 파인만 도형에서도 무한대가 상쇄되는 것을 보였다. 드디어 토프트는 양자전기역학에서와 같이 비가환 게이지 이론의 되틀맞춤에 성공한 것이다. 곧 이휘소와 지인 진-줘스틴(Jean Jinn-Justin)의 연구에서 수학적으로 더 엄밀한 방법으로 이 무한대의 확실한 상쇄를 확인하였다.
양-밀스 이론은 강력 상호작용의 모델로 시작하였으나, 이 이론의 되틀맞춤이 성공했을 때는 이 이론을 약력 상호작용에 응용하는데 연구가 집중되었다. 1961 년에 쉘든 글라쇼(Sheldon Glashow)는 아직 힉스메카니즘이 알려지기 전에 양-밀스 이론을 전자기력과 약력을 통합하는 전자기 약작용 연구에 이용할 수 있다는 암시를 하였다. 1967 년에 스티븐 와인버그(Steven Weinberg)와 아부다스 살람(Abdus Salam)은 독립적으로 힉스 메카니즘을 사용하여 게이지 양자에 질량을 주는 양-밀스 이론을 기반으로 하는 전자기 약작용 이론을 제안하였다. 이들은 와인버그-살람 모델의 되틀맞춤의 가능성을 추측하였으나 보여주지는 못했으므로 이 모델을 사용한 어떤 계산도 할 수가 없었다. 토프트의 힉스 메카니즘을 포함한 양-밀스 이론이 일반적으로 되틀맞춤이 가능하다는 증명은 와인버그-살람 모델의 되틀맞춤을 한 특수 경우로 포함하고 있다는 것을 보였다. 이렇게 하여 와인버그-살람 모델은 약력과 전자기력을 통합하는 전자기 약작용 이론으로 토프트에 의하여 증명되고 완성된 것이다. 이러한 업적으로 글라쇼, 와인버그, 살람은 1979 년에 노벨물리학상을 받았다.
이 모델의 기본가정은 하전스핀에 대한 한곳 불변성이다. 이 불변성을 보존하기 위하여, 원래의 양-밀스 이론의 세 개의 광자 같은 장 대신 네 개의 광자 같은 양-밀스 장을 도입해야 했다. 힉스 메카니즘에 의하여 네 개의 스칼라 힉스 장이 도입되었다. 이중 세 개의 힉스 장은 세 개의 양-밀스 장에 의하여 잡혀 먹히고, 양 전하, 음 전하, 주성의 세 양-밀스 입자는 무거운 질량을 얻게된다. 이 입자는 무거운 중간 벡터 보존이라고 하며 W＋, W－, Z0 으로 표시된다. 여기서 W는 약력(weak force)의 첫 자를 딴 것이고 Z 는 전하가 영(zero)이라는 첫 자를 딴 것이다. 네 번째 양-밀스 입자는 중성이고 질량도 없다. 그것은 전자기장의 양자인 광자다. 양-밀스 장에 의하여 잡혀 먹히고 질량을 준 세 개의 힉스 장은 고스트가 되어 관찰 불가능하며 나머지 한 개의 힉스 입자는 무거우며 관측이 가능하다.
와인버그-살람 모델에서 완전히 새로운 예측은 광자와 같은 성질을 갖고 있지만 질량이 무거운 Z0 입자이었다. 이 입자는 이전에 발표한 페르미(Fermi)의 약 작용 이론을 위시하여 어떤 약력에 관한 임시모델에도 포함되지 않았었다. Z0 입자의  교환에서 일어나는 중성 약 작용에 관한 실험적인 발견은 1973 년 CERN 에서 이루어졌으며, 이 발견은 와인버그-살람 모델의 중요한 실험적인 첫 뒷받침이 되었다. W＋, W－, Z0 입자의 발견도 1983 년과 1984 년 CERN 에서 칼로 루비아(Carlo Rubbia)의 지휘하에서 발견되었다. 이 입자들의 질량은 이론이 예측한대로 양성자 질량의 약 90 배가 되는 것을 실험으로 확인되었다. 그러나 무거운 질량을 갖고 있는 한 개의 힉스 입자는 아직까지 발견되지 못했으며 이 입자의 발견은 장차 실험입자 물리학의 중대한 과제로 남아있다.
1971 년에 와인버그는 이름도 들어보지 못한 토프트라는 젊은 대학원 학생으로부터 논문을 받았는데 내용은 와인버그-살람 이론에서 관측 가능량의 계산에서 발생하는 모든 무한대가 양자전자기역학에서와 같이 모두 상쇄된다는 것을 보였다고 주장하는 것이었다. 와인버그는 듣지도 못해본 대학원 학생이 전에 자기가 믿지 않았던 파인만이 발전시킨 특수한 방법을 사용하였으므로 처음에는 이 일을 믿지 않았다고 한다. 그러나 조금 후에 자기가 존경하는 이휘소가 더 엄밀한 통상적인 수학적 방법을 사용하여 같은 결과를 얻고 있다는 것을 들었을 때 와인버그는 토프트의 논문을 더 조심스럽게 보고 그 내용이 맞다는 것을 알았다고 한다.
토프트의 논문이 1971 년에 나온 후에, 아직 아무런 실험적인 근거가 나오기 전인데 전자기약력 이론은 물리학자들의 연구대상으로 급하게 발전하였다.와인버그의 논문이 1967 년에 발표되었는데 1967 년, 1968 년, 1969 년, 삼년간 ISI Citation Index 에 인용이 한 차례도 없었고, 1970 년에 한 번, 1971 년에 한 번 인용되었으나, 토프트의 논문이 나온 다음 해인 1972 년에는 갑자기 65 개의 인용으로 증가하였고, 1973 년에는 165 개로 늘었다. 그후 인용은 꾸준히 늘어 이 논문은 최근 반세기 동안 입자물리학에서 가장 인용이 많은 논문이 되었다.
토프트의 비가환 게이지 이론의 되틀맞춤의 성공은 전자기 약상호작용 및 강상호작용의 이론 발전에 기본이 되었고 그 후 비가환 게이지 이론의 폭발적인 연구의 원동력이 되었다. 이러한 업적으로 토프트와 벨트만은 1999 년도 노벨 물리학상을 받았다.